本文讲解的例题
| LeetCode | 力扣 | 难度 |
|---|---|---|
| 174. Dungeon Game | 174. 地下城游戏 | 🔴 |
「魔塔」是一款经典的地牢类游戏，碰怪物要掉血，吃血瓶能加血，你要收集钥匙，一层一层上楼，最后救出美丽的公主。
现在手机上仍然可以玩这个游戏：
嗯，相信这款游戏承包了不少人的童年回忆，记得小时候，一个人拿着游戏机玩，两三个人围在左右指手画脚，这导致玩游戏的人体验极差，而左右的人异常快乐 😂
力扣第 174 题「地下城游戏」是一道类似的题目：
174. 地下城游戏 | 力扣 | LeetCode | 🔴
恶魔们抓住了公主并将她关在了地下城 dungeon 的 右下角 。地下城是由 m x n 个房间组成的二维网格。我们英勇的骑士最初被安置在 左上角 的房间里，他必须穿过地下城并通过对抗恶魔来拯救公主。
骑士的初始健康点数为一个正整数。如果他的健康点数在某一时刻降至 0 或以下，他会立即死亡。
有些房间由恶魔守卫，因此骑士在进入这些房间时会失去健康点数（若房间里的值为负整数，则表示骑士将损失健康点数）；其他房间要么是空的（房间里的值为 0），要么包含增加骑士健康点数的魔法球（若房间里的值为正整数，则表示骑士将增加健康点数）。
为了尽快解救公主，骑士决定每次只 向右 或 向下 移动一步。
返回确保骑士能够拯救到公主所需的最低初始健康点数。
注意：任何房间都可能对骑士的健康点数造成威胁，也可能增加骑士的健康点数，包括骑士进入的左上角房间以及公主被监禁的右下角房间。
示例 1：
输入：dungeon = [[-2,-3,3],[-5,-10,1],[10,30,-5]] 输出：7 解释：如果骑士遵循最佳路径：右 -> 右 -> 下 -> 下 ，则骑士的初始健康点数至少为 7 。
示例 2：
输入：dungeon = [[0]] 输出：1
提示：
m == dungeon.lengthn == dungeon[i].length1 <= m, n <= 200-1000 <= dungeon[i][j] <= 1000
简单说，就是问你至少需要多少初始生命值，能够让骑士从最左上角移动到最右下角，且任何时候生命值都要大于 0。
函数签名如下：
int calculateMinimumHP(int[][] grid);上篇文章 最小路径和 写过类似的问题，问你从左上角到右下角的最小路径和是多少。
我们做算法题一定要尝试举一反三，感觉今天这道题和最小路径和有点关系对吧？
想要最小化骑士的初始生命值，是不是意味着要最大化骑士行进路线上的血瓶？是不是相当于求「最大路径和」？是不是可以直接套用计算「最小路径和」的思路？
但是稍加思考，发现这个推论并不成立，吃到最多的血瓶，并不一定就能获得最小的初始生命值。
比如如下这种情况，如果想要吃到最多的血瓶获得「最大路径和」，应该按照下图箭头所示的路径，初始生命值需要 11：
但也很容易看到，正确的答案应该是下图箭头所示的路径，初始生命值只需要 1：
所以，关键不在于吃最多的血瓶，而是在于如何损失最少的生命值。
这类求最值的问题，肯定要借助动态规划技巧，要合理设计 dp 数组/函数的定义。类比前文 最小路径和问题，dp 函数签名肯定长这样：
int dp(int[][] grid, int i, int j);但是这道题对 dp 函数的定义比较有意思，按照常理，这个 dp 函数的定义应该是：
从左上角（grid[0][0]）走到 grid[i][j] 至少需要 dp(grid, i, j) 的生命值。
这样定义的话，base case 就是 i, j 都等于 0 的时候，我们可以这样写代码：
int calculateMinimumHP(int[][] grid) {
int m = grid.length;
int n = grid[0].length;
// 我们想计算左上角到右下角所需的最小生命值
return dp(grid, m - 1, n - 1);
}
int dp(int[][] grid, int i, int j) {
// base case
if (i == 0 && j == 0) {
// 保证骑士落地不死就行了
return grid[i][j] > 0 ? 1 : -grid[i][j] + 1;
}
...
}为了简洁，之后 dp(grid, i, j) 就简写为 dp(i, j)，大家理解就好。
接下来我们需要找状态转移了，还记得如何找状态转移方程吗？我们这样定义 dp 函数能否正确进行状态转移呢？
我们希望 dp(i, j) 能够通过 dp(i-1, j) 和 dp(i, j-1) 推导出来，这样就能不断逼近 base case，也就能够正确进行状态转移。
具体来说，「到达 A 的最小生命值」应该能够由「到达 B 的最小生命值」和「到达 C 的最小生命值」推导出来：
但问题是，能推出来么？实际上是不能的。
因为按照 dp 函数的定义，你只知道「能够从左上角到达 B 的最小生命值」，但并不知道「到达 B 时的生命值」。
「到达 B 时的生命值」是进行状态转移的必要参考，我给你举个例子你就明白了，假设下图这种情况：
你说这种情况下，骑士救公主的最优路线是什么？
显然是按照图中蓝色的线走到 B，最后走到 A 对吧，这样初始血量只需要 1 就可以；如果走黄色箭头这条路，先走到 C 然后走到 A，初始血量至少需要 6。
为什么会这样呢？骑士走到 B 和 C 的最少初始血量都是 1，为什么最后是从 B 走到 A，而不是从 C 走到 A 呢？
因为骑士走到 B 的时候生命值为 11，而走到 C 的时候生命值依然是 1。
如果骑士执意要通过 C 走到 A，那么初始血量必须加到 6 点才行；而如果通过 B 走到 A，初始血量为 1 就够了，因为路上吃到血瓶了，生命值足够抗 A 上面怪物的伤害。
这下应该说的很清楚了，再回顾我们对 dp 函数的定义，上图的情况，算法只知道 dp(1, 2) = dp(2, 1) = 1，都是一样的，怎么做出正确的决策，计算出 dp(2, 2) 呢？
所以说，我们之前对 dp 数组的定义是错误的，信息量不足，算法无法做出正确的状态转移。
正确的做法需要反向思考，依然是如下的 dp 函数：
int dp(int[][] grid, int i, int j);但是我们要修改 dp 函数的定义：
从 grid[i][j] 到达终点（右下角）所需的最少生命值是 dp(grid, i, j)。
那么可以这样写代码：
int calculateMinimumHP(int[][] grid) {
// 我们想计算左上角到右下角所需的最小生命值
return dp(grid, 0, 0);
}
int dp(int[][] grid, int i, int j) {
int m = grid.length;
int n = grid[0].length;
// base case
if (i == m - 1 && j == n - 1) {
return grid[i][j] >= 0 ? 1 : -grid[i][j] + 1;
}
...
}根据新的 dp 函数定义和 base case，我们想求 dp(0, 0)，那就应该试图通过 dp(i, j+1) 和 dp(i+1, j) 推导出 dp(i, j)，这样才能不断逼近 base case，正确进行状态转移。
具体来说，「从 A 到达右下角的最少生命值」应该由「从 B 到达右下角的最少生命值」和「从 C 到达右下角的最少生命值」推导出来：
能不能推导出来呢？这次是可以的，假设 dp(0, 1) = 5, dp(1, 0) = 4，那么可以肯定要从 A 走向 C，因为 4 小于 5 嘛。
那么怎么推出 dp(0, 0) 是多少呢？
假设 A 的值为 1，既然知道下一步要往 C 走，且 dp(1, 0) = 4 意味着走到 grid[1][0] 的时候至少要有 4 点生命值，那么就可以确定骑士出现在 A 点时需要 4 - 1 = 3 点初始生命值，对吧。
那如果 A 的值为 10，落地就能捡到一个大血瓶，超出了后续需求，4 - 10 = -6 意味着骑士的初始生命值为负数，这显然不可以，骑士的生命值小于 1 就挂了，所以这种情况下骑士的初始生命值应该是 1。
综上，状态转移方程已经推出来了：
int res = min(
dp(i + 1, j),
dp(i, j + 1)
) - grid[i][j];
dp(i, j) = res <= 0 ? 1 : res;根据这个核心逻辑，加一个备忘录消除重叠子问题，就可以直接写出最终的代码了：
class Solution {
public int calculateMinimumHP(int[][] grid) {
int m = grid.length;
int n = grid[0].length;
// 备忘录中都初始化为 -1
memo = new int[m][n];
for (int[] row : memo) {
Arrays.fill(row, -1);
}
return dp(grid, 0, 0);
}
// 备忘录，消除重叠子问题
int[][] memo;
// 定义：从 (i, j) 到达右下角，需要的初始血量至少是多少
int dp(int[][] grid, int i, int j) {
int m = grid.length;
int n = grid[0].length;
// base case
if (i == m - 1 && j == n - 1) {
return grid[i][j] >= 0 ? 1 : -grid[i][j] + 1;
}
if (i == m || j == n) {
return Integer.MAX_VALUE;
}
// 避免重复计算
if (memo[i][j] != -1) {
return memo[i][j];
}
// 状态转移逻辑
int res = Math.min(
dp(grid, i, j + 1),
dp(grid, i + 1, j)
) - grid[i][j];
// 骑士的生命值至少为 1
memo[i][j] = res <= 0 ? 1 : res;
return memo[i][j];
}
}算法可视化面板
这就是自顶向下带备忘录的动态规划解法，参考前文 动态规划套路详解 就可以改写成 dp 数组的迭代解法。
我们可以这样定义 dp 数组：
从 grid[i][j] 到达终点（右下角）所需的最少生命值是 dp[i][j]。
base case 是 dp[m-1][n-1] = 1，即站在终点位置所需的最少生命值为 1。
站在 grid[i][j] 这个格子，要么往右边走，要么往下边走，所以状态转移方程就是：
dp[i][j] = Math.min(dp[i + 1][j], dp[i][j + 1]) - grid[i][j];dp[i][j] 的状态转移需要依赖下方 dp[i+1][j] 和右侧 dp[i][j+1]，所以我们还需要计算出最后一行 dp[n-1][..] 和最后一列 dp[..][m-1] 的值，然后才能自下而上，自右向左进行状态转移：
class Solution {
public int calculateMinimumHP(int[][] grid) {
int m = grid.length;
int n = grid[0].length;
final int INF = Integer.MAX_VALUE / 2;
// dp[i][j] 表示从 (i, j) 到右下角需要的最少初始血量
int[][] dp = new int[m][n];
// base case，右下角至少要 1 点血
dp[m - 1][n - 1] = Math.max(1, 1 - grid[m - 1][n - 1]);
// 最后一列
for (int i = m - 2; i >= 0; i--) {
int need = dp[i + 1][n - 1] - grid[i][n - 1];
dp[i][n - 1] = need <= 0 ? 1 : need;
}
// 最后一行
for (int j = n - 2; j >= 0; j--) {
int need = dp[m - 1][j + 1] - grid[m - 1][j];
dp[m - 1][j] = need <= 0 ? 1 : need;
}
// 其余格子，自底向上、自右向左填表
for (int i = m - 2; i >= 0; i--) {
for (int j = n - 2; j >= 0; j--) {
int down = dp[i + 1][j];
int right = dp[i][j + 1];
int need = Math.min(down, right) - grid[i][j];
dp[i][j] = need <= 0 ? 1 : need;
}
}
return dp[0][0];
}
}这样，这道题的动态规划解法就完成了，难点其实是定义 dp 函数，然后才能找到正确的状态转移方程，计算出正确的答案。