391. 完美矩形 https://leetcode.cn/problems/perfect-rectangle

本文讲解的例题

LeetCode力扣难度
391. Perfect Rectangle391. 完美矩形🔴

今天讲一道非常有意思，而且比较有难度的题目。

我们知道一个矩形有四个顶点，但是只要两个顶点的坐标就可以确定一个矩形了（比如左下角和右上角两个顶点坐标）。

今天来看看力扣第 391 题「完美矩形」，题目会给我们输入一个数组 rectangles，里面装着若干四元组 (x1,y1,x2,y2)，每个四元组就是记录一个矩形的左下角和右上角坐标。

391. 完美矩形 | 力扣 | LeetCode |  🔴

给你一个数组 rectangles ，其中 rectangles[i] = [xi, yi, ai, bi] 表示一个坐标轴平行的矩形。这个矩形的左下顶点是 (xi, yi) ，右上顶点是 (ai, bi) 。

如果所有矩形一起精确覆盖了某个矩形区域，则返回 true ；否则，返回 false 。

 

示例 1：

输入：rectangles = [[1,1,3,3],[3,1,4,2],[3,2,4,4],[1,3,2,4],[2,3,3,4]]
输出：true
解释：5 个矩形一起可以精确地覆盖一个矩形区域。

示例 2：

输入：rectangles = [[1,1,2,3],[1,3,2,4],[3,1,4,2],[3,2,4,4]]
输出：false
解释：两个矩形之间有间隔，无法覆盖成一个矩形。

示例 3：

输入：rectangles = [[1,1,3,3],[3,1,4,2],[1,3,2,4],[2,2,4,4]]
输出：false
解释：因为中间有相交区域，虽然形成了矩形，但不是精确覆盖。

提示：

  • 1 <= rectangles.length <= 2 * 104
  • rectangles[i].length == 4
  • -105 <= xi, yi, ai, bi <= 105
题目来源：力扣 391. 完美矩形。

也就是说，输入的 rectangles 数组实际上就是很多小矩形，题目要求我们输出一个布尔值，判断这些小矩形能否构成一个「完美矩形」。函数签名如下：

java
boolean isRectangleCover(int[][] rectangles)

所谓「完美矩形」，就是说 rectangles 中的小矩形拼成图形必须是一个大矩形，且大矩形中不能有重叠和空缺。

这个题目难度是 Hard，如果没有做过类似的题目，还真做不出来。

常规的思路，起码要把最终形成的图形表示出来吧，而且你要有方法去判断两个矩形是否有重叠，是否有空隙，虽然可以做到，不过感觉异常复杂。

其实，想判断最终形成的图形是否是完美矩形，需要从「面积」和「顶点」两个角度来处理。

先说说什么叫从「面积」的角度。

rectangles 数组中每个元素都是一个四元组 (x1, y1, x2, y2)，表示一个小矩形的左下角顶点坐标和右上角顶点坐标。

那么假设这些小矩形最终形成了一个「完美矩形」，你会不会求这个完美矩形的左下角顶点坐标 (X1, Y1) 和右上角顶点的坐标 (X2, Y2)？

这个很简单吧，左下角顶点 (X1, Y1) 就是 rectangles 中所有小矩形中最靠左下角的那个小矩形的左下角顶点；右上角顶点 (X2, Y2) 就是所有小矩形中最靠右上角的那个小矩形的右上角顶点。

注意我们用小写字母表示小矩形的坐标，大写字母表示最终形成的完美矩形的坐标，可以这样写代码：

java
// 左下角顶点，初始化为正无穷，以便记录最小值
double X1 = Double.POSITIVE_INFINITY, Y1 = Double.POSITIVE_INFINITY;

// 右上角顶点，初始化为负无穷，以便记录最大值
double X2 = Double.NEGATIVE_INFINITY, Y2 = Double.NEGATIVE_INFINITY;

for(int[] rectangle : rectangles){
    int x1 = rectangle[0], y1 = rectangle[1], x2 = rectangle[2], y2 = rectangle[3];

    // 取小矩形左下角顶点的最小值
    X1 = Math.min(X1, x1);
    Y1 = Math.min(Y1, y1);

    // 取小矩形右上角顶点的最大值
    X2 = Math.max(X2, x2);
    Y2 = Math.max(Y2, y2);
}

这样就能求出完美矩形的左下角顶点坐标 (X1, Y1) 和右上角顶点的坐标 (X2, Y2) 了。

计算出的 X1,Y1,X2,Y2 坐标是完美矩形的「理论坐标」，如果所有小矩形的面积之和不等于这个完美矩形的理论面积，那么说明最终形成的图形肯定存在空缺或者重叠，肯定不是完美矩形。

代码可以进一步：

java
boolean isRectangleCover(int[][] rectangles) {
    int X1 = Integer.MAX_VALUE, Y1 = Integer.MAX_VALUE;
    int X2 = Integer.MIN_VALUE, Y2 = Integer.MIN_VALUE;
    // 记录所有小矩形的面积之和
    int actualArea = 0;
    for (int[] rect : rectangles) {
        int x1 = rect[0], y1 = rect[1], x2 = rect[2], y2 = rect[3];
        // 计算完美矩形的理论坐标
        X1 = Math.min(X1, x1);
        Y1 = Math.min(Y1, y1);
        X2 = Math.max(X2, x2);
        Y2 = Math.max(Y2, y2);
        // 累加所有小矩形的面积
        actualArea += (x2 - x1) * (y2 - y1);
    }

    // 计算完美矩形的理论面积
    int expectedArea = (X2 - X1) * (Y2 - Y1);
    // 面积应该相同
    if (actualArea != expectedArea) {
        return false;
    }

    return true;
}

这样，「面积」这个维度就完成了，思路其实不难，无非就是假设最终形成的图形是个完美矩形，然后比较面积是否相等，如果不相等的话说明最终形成的图形一定存在空缺或者重叠部分，不是完美矩形。

但是反过来说，如果面积相同，是否可以证明最终形成的图形是完美矩形，一定不存在空缺或者重叠？

肯定是不行的，举个很简单的例子，你假想一个完美矩形，然后我在它中间挖掉一个小矩形，把这个小矩形向下平移一个单位。这样小矩形的面积之和没变，但是原来的完美矩形中就空缺了一部分，也重叠了一部分，已经不是完美矩形了。

综上，即便面积相同，并不能完全保证不存在空缺或者重叠，所以我们需要从「顶点」的维度来辅助判断。

记得小学的时候有一道智力题，给你一个矩形，切一刀，剩下的图形有几个顶点？答案是，如果沿着对角线切，就剩 3 个顶点；如果横着或者竖着切，剩 4 个顶点；如果只切掉一个小角，那么会出现 5 个顶点。

回到这道题，我们接下来的分析也有那么一点智力题的味道。

显然，完美矩形一定只有四个顶点。矩形嘛，按理说应该有四个顶点，如果存在空缺或者重叠的话，肯定不是四个顶点，比如说题目的这两个例子就有不止 4 个顶点：

Note

我也不知道应该用「顶点」还是「角」来形容，好像都不太准确，本文统一用「顶点」来形容，大家理解就好~

只要我们想办法计算 rectangles 中的小矩形最终形成的图形有几个顶点，就能判断最终的图形是不是一个完美矩形了。

那么顶点是如何形成的呢？我们倒是一眼就可以看出来顶点在哪里，问题是如何让计算机，让算法知道某一个点是不是顶点呢？这也是本题的难点所在。

看下图的四种情况：

图中画红点的地方，什么时候是顶点，什么时候不是顶点？显然，情况一和情况三的时候是顶点，而情况二和情况四的时候不是顶点。

也就是说，当某一个点同时是 2 个或者 4 个小矩形的顶点时，该点最终不是顶点；当某一个点同时是 1 个或者 3 个小矩形的顶点时，该点最终是一个顶点。

注意，2 和 4 都是偶数，1 和 3 都是奇数，我们想计算最终形成的图形中有几个顶点，也就是要筛选出那些出现了奇数次的顶点，可以这样写代码：

java
boolean isRectangleCover(int[][] rectangles) {
    int X1 = Integer.MAX_VALUE, Y1 = Integer.MAX_VALUE;
    int X2 = Integer.MIN_VALUE, Y2 = Integer.MIN_VALUE;

    int actualArea = 0;
    // 哈希集合，记录最终图形的顶点
    Set<String> points = new HashSet<>();
    for (int[] rect : rectangles) {
        int x1 = rect[0], y1 = rect[1], x2 = rect[2], y2 = rect[3];
        X1 = Math.min(X1, x1);
        Y1 = Math.min(Y1, y1);
        X2 = Math.max(X2, x2);
        Y2 = Math.max(Y2, y2);

        actualArea += (x2 - x1) * (y2 - y1);
        // 先算出小矩形每个点的坐标，用字符串表示，方便存入哈希集合
        String p1 = x1 + "," + y1;
        String p2 = x1 + "," + y2;
        String p3 = x2 + "," + y1;
        String p4 = x2 + "," + y2;
        // 对于每个点，如果存在集合中，删除它；
        // 如果不存在集合中，添加它；
        // 在集合中剩下的点都是出现奇数次的点
        for (String p : new String[]{p1, p2, p3, p4}) {
            if (points.contains(p)) {
                points.remove(p);
            } else {
                points.add(p);
            }
        }
    }

    int expectedArea = (X2 - X1) * (Y2 - Y1);
    if (actualArea != expectedArea) {
        return false;
    }

    // 检查顶点个数
    if (points.size() != 4 || 
        !points.contains(X1 + "," + Y1) || 
        !points.contains(X1 + "," + Y2) || 
        !points.contains(X2 + "," + Y1) || 
        !points.contains(X2 + "," + Y2)) {
        return false;
    }

    return true;
}

这段代码中，我们用一个 points 集合记录 rectangles 中小矩形组成的最终图形的顶点坐标，关键逻辑在于如何向 points 中添加坐标：

如果某一个顶点 p 存在于集合 points 中，则将它删除；如果不存在于集合 points 中，则将它插入。

这个简单的逻辑，让 points 集合最终只会留下那些出现了 1 次或者 3 次的顶点，那些出现了 2 次或者 4 次的顶点都被消掉了。

那么首先想到，points 集合中最后应该只有 4 个顶点对吧，如果 len(points) != 4 说明最终构成的图形肯定不是完美矩形。

但是如果 len(points) == 4 是否能说明最终构成的图形肯定是完美矩形呢？也不行，因为题目并没有说 rectangles 中的小矩形不存在重复，比如下面这种情况：

下面两个矩形重复了，按照我们的算法逻辑，它们的顶点都被消掉了，最终是剩下了四个顶点；再看面积，完美矩形的理论坐标是图中红色的点，计算出的理论面积和实际面积也相同。但是显然这种情况不是题目要求完美矩形。

所以不仅要保证 len(points) == 4，而且要保证 points 中最终剩下的点坐标就是完美矩形的四个理论坐标，直接看代码吧：

java
class Solution {
    public boolean isRectangleCover(int[][] rectangles) {
        int X1 = Integer.MAX_VALUE, Y1 = Integer.MAX_VALUE;
        int X2 = Integer.MIN_VALUE, Y2 = Integer.MIN_VALUE;
        
        Set<String> points = new HashSet<>();
        int actualArea = 0;
        for (int[] rect : rectangles) {
            int x1 = rect[0], y1 = rect[1], x2 = rect[2], y2 = rect[3];
            // 计算完美矩形的理论顶点坐标
            X1 = Math.min(X1, x1);
            Y1 = Math.min(Y1, y1);
            X2 = Math.max(X2, x2);
            Y2 = Math.max(Y2, y2);
            // 累加小矩形的面积
            actualArea += (x2 - x1) * (y2 - y1);
            // 记录最终形成的图形中的顶点
            String p1 = x1 + "," + y1;
            String p2 = x1 + "," + y2;
            String p3 = x2 + "," + y1;
            String p4 = x2 + "," + y2;
            for (String p : new String[]{p1, p2, p3, p4}) {
                if (points.contains(p)) points.remove(p);
                else                    points.add(p);
            }
        }
        // 判断面积是否相同
        int expectedArea = (X2 - X1) * (Y2 - Y1);
        if (actualArea != expectedArea) {
            return false;
        }
        // 判断最终留下的顶点个数是否为 4
        if (points.size() != 4) {
            return false;
        }
        // 判断留下的 4 个顶点是否是完美矩形的顶点
        if (!points.contains(X1 + "," + Y1)) return false;
        if (!points.contains(X1 + "," + Y2)) return false;
        if (!points.contains(X2 + "," + Y1)) return false;
        if (!points.contains(X2 + "," + Y2)) return false;
        // 面积和顶点都对应，说明矩形符合题意
        return true;
    }
}
Algorithm visualize
  算法可视化面板

这就是最终的解法代码，从「面积」和「顶点」两个维度来判断：

1、判断面积，通过完美矩形的理论坐标计算出一个理论面积，然后和 rectangles 中小矩形的实际面积和做对比。

2、判断顶点，points 集合中应该只剩下 4 个顶点且剩下的顶点必须都是完美矩形的理论顶点。